Método axiomático
No figura en el Diccionario filosófico marxista · 1946
No figura en el Diccionario filosófico abreviado · 1959
Diccionario filosófico · 1965:313-314
Método axiomático
Uno de los procedimientos de estructuración deductiva de las teorías
científicas, con el cual: 1) Se elige cierto conjunto de proposiciones
de una determinada teoría y estas se admiten sin demostración
(axiomas); 2) los conceptos en ellas contenidos no son claramente
determinados en el marco de la teoría dada; 3) se fijan las reglas de
la deducción y las reglas de la definición en la teoría dada, reglas
que permiten correspondientemente pasar de unas proposiciones a otras
e introducir nuevos términos (conceptos) en la teoría; 4) todas las
demás proposiciones de la teoría dada se deducen de (1) sobre la base
de (3). Las primeras formulaciones del método axiomático surgieron en
la antigua Grecia (Aristóteles, Euclides). Posteriormente se hicieron
tentativas de exponer axiomáticamente distintas partes de la ciencia y
de la filosofía (Newton, Spinoza y otros). Lo característico de tales
investigaciones era que se estructuraba una teoría determinada (y sólo
ella) partiendo de su contenido; la atención se aplicaba
fundamentalmente a definir y elegir axiomas evidentes por intuición.
Desde la segunda mitad del siglo XIX, gracias a la intensa
investigación a que se someten los problemas relativos a los
fundamentos de la matemática y a la lógica matemática, la teoría
axiomática empezó a ser concebida como cierto sistema formal que
establece correlaciones entre sus elementos (signos) y que describe
cualquier multiplicidad de objetos que la satisfagan. Además, la
atención principal se encamina a establecer el carácter no
contradictorio del sistema, su completitud, la independencia de los
axiomas, etc. Dado que los sistemas de signos pueden ser considerados
o bien al margen de toda dependencia respecto al contenido que en
ellos puede hallarse representado o bien teniéndolo en cuenta, se
distinguen dos clases de sistemas axiomáticos: sintácticos y
semánticos. Esta diferenciación ha hecho necesario formular en dos
planos los requisitos que se les exige, a saber: en el plano
sintáctico y en el semántico (carácter no contradictorio, completitud,
independencia de los axiomas, sintácticos y semánticos, etc.). El
análisis de los sistemas axiomáticos formalizados ha llevado a la
conclusión (Gödel) de que es imposible estructurar un sistema
axiomático universal. La axiomatización, no es más que uno de los
métodos con que se organiza el saber científico. Por lo común se
establece cuando, desde el punto de vista del contenido, la teoría se
encuentra ya suficientemente estructurada y entonces permite obtener
de sí misma una representación más exacta, en particular una deducción
rigurosa de todas las conclusiones que se desprendan de las
afirmaciones admitidas. En el transcurso de los últimos treinta o
cuarenta años se viene trabajando intensamente en la axiomatización no
sólo de las disciplinas matemáticas, sino, además, de determinadas
partes de la física, biología, lingüística, etc. En la investigación
de los conocimientos científico-naturales (en general, de todo saber
no matemático), el método axiomático se presenta bajo la forma de
método hipotético-deductivo (véase también Formalización).
Diccionario de filosofía · 1984:289
Método axiomático
Procedimiento de estructuración deductiva de teorías científicas,
cuando: 1) se elige cierta cantidad de proposiciones de una teoría
determinada, que se aceptan sin demostración (axiomas); 2) los
conceptos que forman parte de ellas no se determinan evidentemente en
el marco de la teoría dada; 3) se fijan las reglas de definición y de
deducción de la teoría dada, las cuales permiten introducir nuevos
términos (conceptos) en la teoría y deducir lógicamente unas
proposiciones de otras, y 4) las demás proposiciones de la teoría
(teorema) dada se deducen de (1) sobre la base de (3). Las primeras
representaciones sobre el método axiomático surgieron en la Grecia
Antigua (Eleatas, Platón, Aristóteles, Euclides). Más tarde se
intentó exponer de modo axiomático los diversos apartados de la
filosofía y la ciencia (Spinoza, Newton y otros). Estas
investigaciones se caracterizaban por la construcción
axiomático-substancial de una teoría determinada (y tan sólo de ella);
se dispensó la principal atención a definir y elegir los axiomas
intuitivamente evidentes. A partir de la segunda mitad del siglo 19,
en virtud de una intensa elaboración de los problemas de la
fundamentación de las matemáticas y la lógica matemática, se empezó a
enfocar la teoría axiomática como un sistema formal (y desde los años
20-30 del siglo 20 como formalizado) que establece las correlaciones
entre sus elementos (signos) y que describe cualesquiera multitudes de
objetos que lo satisfagan. Se empezó a dedicar principal atención al
establecimiento del carácter no contradictorio del sistema, a su
plenitud, a la independencia del sistema de axiomas, etc. En virtud
de que los sistemas de signos pueden considerarse o bien
independientemente del contenido, que puede ser representado en ellos,
o bien tomándolo en cuenta, se distinguen los sistemas axiomáticos
sintácticos y semánticos (tan sólo estos últimos constituyen los
conocimientos propiamente científicos). Esta diferenciación planteó
la necesidad de formular las exigencias fundamentales, que se les
presenta, en dos planos: el sintáctico y el semántico (carácter
sintáctico y semántico no contradictorio, plenitud, independencia de
los axiomas, etc.). El análisis de los sistemas axiomáticos
formalizados condujo al establecimiento de sus limitaciones de
principio. La fundamental de ellas es la imposibilidad –descubierta
por Gödell– de axiomatizar en plena medida las teorías científicas
suficientemente desarrolladas (por ejemplo, la aritmética de los
números naturales), de lo cual se deriva la imposibilidad de
formalizar en plena medida el conocimiento científico. La
axiomatización es sólo uno de los métodos de construcción del
conocimiento científico, pero su utilización como medio de
descubrimiento científico es muy limitada. De ordinario, la
axiomatización se realiza después que la teoría ha sido construida ya
en suficiente medida, y sirve para presentarla con mayor precisión, en
particular, para deducir rigurosamente todas las conclusiones de las
premisas adoptadas. En los 30-40 años últimos se le presta gran
atención a la axiomatización no sólo de las disciplinas matemáticas,
sino también, de determinados apartados de la física, la biología, la
psicología, la economía, la lingüística y otras, incluyendo las
teorías de la estructura y la dinámica del conocimiento científico.
Al investigar el conocimiento científico-natural (y, en general, todo
conocimiento no matemático), el método axiomático toma la forma de
método hipotético-deductivo (véase asimismo Formalización).