Paradojas
No figura en el Diccionario filosófico marxista · 1946
No figura en el Diccionario filosófico abreviado · 1959
Diccionario filosófico · 1965:350-351
Paradojas (de la lógica y de la teoría de los conjuntos)
Contradicciones lógico-formales que surgen en la teoría substancial de
los conjuntos y en la lógica formal conservándose la corrección lógica
del curso del razonamiento; están emparentadas con las aporías de
Zenón y con las antinomias semánticas conocidas ya en la remota
Antigüedad. En la ciencia moderna, las paradojas fueron descubiertas a
fines del siglo XIX en algunas secciones de la teoría de los conjuntos
(descubrieron tales paradojas, por ejemplo, Georg Cantor en 1895 y
Cesare Burali-Forti en 1902). Russell, en 1902, descubrió una de las
más conocidas. Las paradojas surgen cuando dos juicios que se excluyen
recíprocamente (contradictorios) resultan demostrables en la misma
medida. Pueden aparecer tanto en el marco de una teoría científica
como en los razonamientos cotidianos (por ejemplo, la perífrasis
aducida por Russell acerca de su paradoja sobre el conjunto de todos
los conjuntos normales: “El barbero del pueblo afeita a todos los
habitantes de su pueblo que no se afeitan a sí mismos. ¿Tiene que
afeitarse a sí mismo?”). Dado que la contradicción lógico-formal
también destruye el razonamiento como medio para descubrir la
demostración de la verdad (en la teoría en que surge la paradoja es
demostrable cualquier proposición, tanto si es verdadera como si es
falsa), se plantea el problema de hallar las fuentes de las paradojas
y los procedimientos para eliminarlas. El análisis materialista
dialéctico pone de manifiesto que las paradojas son expresión de
profundas dificultades dialécticas y gnoseológicas relacionadas con
los conceptos de objeto y de zona objetiva en la lógica formal, de
conjunto (clase) en la lógica y en la teoría de los conjuntos: con el
uso del principio de abstracción, principio que permite introducir en
el examen nuevos objetos (abstractos); con las maneras de definir los
objetos abstractos en la ciencia, etc. Este es el motivo de que no
pueda darse un procedimiento universal para eliminar todas las
paradojas. Al resolver el problema de la eliminación de las paradojas
en las teorías científicas, es posible seguir distintos caminos:
estructurar una teoría de los tipos (jerarquía de los tipos), limitar
el principio de la abstracción, etc.; así, para eliminar las paradojas
de la teoría de los conjuntos se han establecido las teorías
axiomáticas de los conjuntos en las cuales al concepto de conjunto se
le han puesto limitaciones suficientes para excluir ciertas paradojas
(el primer sistema de ese género fue propuesto por Ernst Zermelo en
1908). El problema concerniente a la comprensión filosófica de las
paradojas y a sus soluciones prácticas constituye uno de los
importantes problemas metodológicos de la lógica formal y de los
fundamentos lógicos de la matemática (Antinomia).
Diccionario de filosofía · 1984:325
Paradojas (de la lógica y de la teoría de los conjuntos)
(griego paradoxos: inesperado.) Contradicciones lógicas formales, que
surgen en la teoría de los conjuntos substancial y en la lógica
formal, conservándose la justeza lógica del razonamiento. Las
paradojas aparecen cuando dos juicios mutuamente excluyentes
(contradictorios) resultan demostrables en igual medida. Las paradojas
pueden surgir tanto en el marco de una teoría científica como en los
razonamientos comunes (por ejemplo, Russell cita la perífrasis de su
paradoja sobre el conjunto de todos los conjuntos normales: “El
barbero aldeano afeita a todos aquellos y sólo a aquellos habitantes
de su aldea que no se afeitan ellos mismos. ¿Debe él afeitarse a sí
mismo?”). Por cuanto la contradicción lógica formal destruye el
razonamiento como medio necesario para descubrir y demostrar la verdad
(en la teoría en que aparece una paradoja es demostrable toda
proposición, tanto auténtica como falsa), por tanto se plantea la
tarea de descubrir las fuentes de las paradojas y los modos de su
eliminación. El análisis materialista dialéctico muestra que las
paradojas son expresión de profundas dificultades dialécticas y
gnoseológicas, asociadas a los conceptos de objeto en la lógica
formal, de conjunto (clase) en la lógica y teoría de los conjuntos;
con el uso del principio de la abstracción, que permite introducir en
el estudio nuevos objetos (abstractos); con los procedimientos de
determinación de los objetos abstractos en la ciencia, etc. Por eso no
puede existir un modo universal de supresión de todas las
paradojas. El problema de la intelección filosófica de las soluciones
concretas de las paradojas es un importante problema metodológico de
la lógica formal y de los fundamentos lógicos de las matemáticas
(Antinomia, Antinomias semánticas).